В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Решение:

В треугольнике ABC нам известны два угла: \( \angle A = 40^{\circ} \) и \( \angle C = 60^{\circ} \).

1. Найдем третий угол треугольника, \( \angle B \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} \).
2. BD — биссектриса угла B, значит, она делит угол B пополам:
   \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
3. BH — высота, проведенная к стороне AC. Это означает, что \( \angle BHA = \angle BHC = 90^{\circ} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем известны два угла: \( \angle C = 60^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Найдем \( \angle HBC \):
   \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
5. Теперь найдем угол между биссектрисой BD и высотой BH. Этот угол равен разности углов \( \angle DBC \) и \( \angle HBC \) (или \( \angle ABD \) и \( \angle ABH \)).
   \( \angle DBC = 40^{\circ} \), \( \angle HBC = 30^{\circ} \).
   \( \angle DBC = \angle DBH + \angle HBC \)
   \( 40^{\circ} = \angle DBH + 30^{\circ} \)
   \( \angle DBH = 40^{\circ} - 30^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: 10°.