15. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC=7√6. Найдите длину стороны AC.

Рассмотрим треугольник ABC. Нам известны два угла и одна сторона. Нужно найти другую сторону. Здесь удобно использовать теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. То есть: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ В нашем случае: $$a = BC$$, $$A = 60°$$, $$B = 45°$$, и нам нужно найти $$b = AC$$. Но сначала найдем угол С. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно: $$C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75°$$ Теперь мы можем воспользоваться теоремой синусов: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{7\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°}$$ $$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставляем значения синусов: $$\frac{7\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ $$AC = 7\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = 7\sqrt{4} = 7 \cdot 2 = 14$$ Ответ: 14