8) В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC= 6√2 . Найдите AC.

Решение:

• Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол C равен: \[ 180° - 45° - 30° = 105° \]
• Применим теорему синусов: \[ \frac{AC}{sin(B)} = \frac{BC}{sin(A)} \]
• Подставим известные значения: \[ \frac{AC}{sin(30°)} = \frac{6\sqrt{2}}{sin(105°)} \]
• Выразим AC: \[ AC = \frac{6\sqrt{2} \cdot sin(30°)}{sin(105°)} \]
• Учитывая, что \[ sin(30°) = \frac{1}{2} \], получим: \[ AC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{sin(105°)} = \frac{3\sqrt{2}}{sin(105°)} \]
• Представим \[ sin(105°) \] как \[ sin(60° + 45°) \] и используем формулу синуса суммы углов: \[ sin(105°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
• Тогда: \[ AC = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \[ \sqrt{6} - \sqrt{2} \]: \[ AC = \frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12\sqrt{12} - 12 \cdot 2}{6 - 2} = \frac{12 \cdot 2\sqrt{3} - 24}{4} = \frac{24\sqrt{3} - 24}{4} = 6\sqrt{3} - 6 \]

Ответ: \[ AC = 6\sqrt{3} - 6 \]