В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH = AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 15°.

а) Так как ∠A = 120°, высоты из B и C пересекаются вне треугольника. Известное свойство ортоцентра: в треугольнике с тупым углом A расстояния от вершины A до ортоцентра H и центра описанной окружности O равны. Докажем это координатно.

Пусть A — начало координат, ось Ox направлена вдоль AB, а AB = c, AC = b. Тогда B = (c, 0), C = (−b/2, √3b/2). Из условий перпендикулярности высот получаем H = (−b/2, −(c + b/2)/√3). Центр описанной окружности O находится из равенств OA = OB = OC: O = (c/2, (2b + c)/(2√3)).

Вычислим квадраты расстояний:

AH² = b²/4 + (c + b/2)²/3 = (b² + bc + c²)/3.

AO² = c²/4 + (2b + c)²/12 = (b² + bc + c²)/3.

Следовательно, AH² = AO², а значит, AH = AO.

б) По теореме синусов, поскольку BC = 3, ∠A = 120°, ∠B = 15°, ∠C = 45°:

AB = 3 sin 45° / sin 120° = √6, а AC = 3 sin 15° / sin 120° = (3√2 − √6)/2.

В выбранных координатах площадь AHO равна половине модуля определителя векторов AO и AH:

S_AHO = |det(O,H)|/2 = (AB² − AC²)/(4√3).

Подстановка даёт AB² − AC² = 3√3, поэтому S_AHO = 3/4.

Ответ: S_AHO = 3/4.