В треугольнике ABC, угол A равен 90°. BK — биссектриса. Найти сторону KC, если AC=20см.

Решение:

В треугольнике ABC угол A равен 90°, значит, это прямоугольный треугольник. BK — биссектриса угла B. По свойству биссектрисы треугольника, отношение сторон, прилежащих к углам, между которыми проведена биссектриса, равно отношению отрезков, на которые делится противолежащая сторона.

То есть, \( \frac{AB}{BC} = \frac{AK}{KC} \).

Так как \( AC = 20 \) см, и \( AC = AK + KC \), то \( AK = AC - KC = 20 - KC \).

Подставим в формулу:

\( \frac{AB}{BC} = \frac{20 - KC}{KC} \).

Однако, для полного решения задачи необходимо знать длины сторон AB и BC, или углы треугольника. В условии задачи дана только длина стороны AC и что угол A равен 90°.

Если предположить, что треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником (что не указано в условии), то \( AB = AC = 20 \) см. Тогда \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \) см.

В этом случае:

\( \frac{20}{20\sqrt{2}} = \frac{20 - KC}{KC} \)

\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20 - KC}{KC} \)

\( KC = \sqrt{2}(20 - KC) \)

\( KC = 20\sqrt{2} - KC\sqrt{2} \)

\( KC(1 + \sqrt{2}) = 20\sqrt{2} \)

\( KC = \frac{20\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{20(2 - \sqrt{2})}{2 - 1} = 40 - 20\sqrt{2} \) см.

Без дополнительных данных (длины сторон AB или BC, или других углов) задача не имеет однозначного решения. Приведенное решение основано на предположении, что треугольник равнобедренный.

Ответ: Без дополнительных данных точный ответ дать невозможно. При предположении, что треугольник равнобедренный, KC = \( 40 - 20\sqrt{2} \) см.