В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 20 см, AB = 2BD. Найдите AD.

Пусть \(BD = h\). В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза \(AB = 2h\), поэтому по теореме Пифагора:

\(AD^2 = AB^2 - BD^2 = (2h)^2 - h^2 = 3h^2\), значит, \(AD = \sqrt{3}h\).

Для высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, верно \(BD^2 = AD \cdot DC\). Тогда \(h^2 = \sqrt{3}h \cdot DC\), откуда \(DC = \frac{h}{\sqrt{3}}\).

Поскольку \(AC = AD + DC = 20\), получаем \(\sqrt{3}h + \frac{h}{\sqrt{3}} = 20\), то есть \(\frac{4h}{\sqrt{3}} = 20\). Отсюда \(h = 5\sqrt{3}\), и \(AD = \sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 15\) см.

Ответ: 15 см.