В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 24 см, AB = 2BD. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике проекция катета AB на гипотенузу равна \(AD=\frac{AB^2}{AC}\). Сначала найдём AB. Из условия \(AB=2BD\), а для высоты к гипотенузе \(BD=\frac{AB\cdot BC}{AC}\). Значит, \(AC=2BC\), и \(BC=12\) см.

По теореме Пифагора: \(AB^2=AC^2-BC^2=24^2-12^2=576-144=432\).

Тогда \(AD=\frac{432}{24}=18\) см.

Ответ: 18 см.