В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 32 см, AB = 2BD. Чему равен угол C? Найдите AD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, BD — высота, опущенная на гипотенузу AC.

По условию, \( AB = 2BD \). В прямоугольном треугольнике ABD, напротив катета BD лежит угол \( ∠ BAD \). Так как \( AB = 2BD \), то \( ∠ BAD = 30^{\circ} \) (катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).

В треугольнике ABC, \( ∠ B = 90^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна \( 180^{\circ} \).

\( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ} \)

\( ∠ A \) в треугольнике ABC равен \( ∠ BAD \), так как точка D лежит на AC. Следовательно, \( ∠ A = 30^{\circ} \).

\( 30^{\circ} + 90^{\circ} + ∠ C = 180^{\circ} \)

\( 120^{\circ} + ∠ C = 180^{\circ} \)

\( ∠ C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Теперь найдём AD. В прямоугольном треугольнике ABD, \( ∠ B = 90^{\circ} \), \( ∠ A = 30^{\circ} \).

Мы можем использовать теорему Пифагора: \( AD^2 + BD^2 = AB^2 \).

Также мы знаем, что \( AB = 2BD \).

Подставим \( AB \) в теорему Пифагора: \( AD^2 + BD^2 = (2BD)^2 \)

\( AD^2 + BD^2 = 4BD^2 \)

\( AD^2 = 3BD^2 \)

\( AD = BD √{3} \).

Мы знаем, что \( AC = 32 \) см.

Также \( AC = AD + DC \).

В прямоугольном треугольнике BDC, \( ∠ B = 90^{\circ} \), \( ∠ C = 60^{\circ} \). Тогда \( ∠ DBC = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BDC, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: \( DC = \frac{1}{2} BC \).

Из \( ∠ A = 30^{\circ} \) и \( ∠ C = 60^{\circ} \) в треугольнике ABC, мы можем использовать соотношения для прямоугольного треугольника:

\( BD = AB ∙ ∋{sin}(∠ A) = AB ∙ ∋{sin}(30^{\circ}) = AB ∙ \frac{1}{2} \)

\( AD = AB ∙ ∋{cos}(∠ A) = AB ∙ ∋{cos}(30^{\circ}) = AB ∙ \frac{√{3}}{2} \)

\( BC = AB ∙ ∋{sin}(∠ C) = AB ∙ ∋{sin}(60^{\circ}) = AB ∙ \frac{√{3}}{2} \)

\( DC = AB ∙ ∋{cos}(∠ C) = AB ∙ ∋{cos}(60^{\circ}) = AB ∙ \frac{1}{2} \)

Из условия \( AB = 2BD \). Это совпадает с \( BD = AB ∙ ∋{sin}(30^{\circ}) \).

Из \( AB = 2BD \), мы можем выразить BD: \( BD = \frac{AB}{2} \).

Теперь подставим это в \( AD = BD √{3} \):

\( AD = \frac{AB}{2} √{3} \).

И в \( DC = \frac{1}{2} BC \).

Также мы знаем, что \( AC = AD + DC = 32 \).

Подставим выражения для AD и DC через AB:

\( AD = AB ∙ \frac{√{3}}{2} \) и \( DC = AB ∙ \frac{1}{2} \).

\( AB ∙ \frac{√{3}}{2} + AB ∙ \frac{1}{2} = 32 \)

\( AB \left( \frac{√{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) = 32 \)

\( AB \left( \frac{√{3}+1}{2} \right) = 32 \)

\( AB = \frac{32 ∙ 2}{√{3}+1} = \frac{64}{√{3}+1} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( √{3}-1 \):

\( AB = \frac{64(√{3}-1)}{(√{3}+1)(√{3}-1)} = \frac{64(√{3}-1)}{3-1} = \frac{64(√{3}-1)}{2} = 32(√{3}-1) \).

Теперь найдём AD:

\( AD = AB ∙ \frac{√{3}}{2} = 32(√{3}-1) ∙ \frac{√{3}}{2} = 16(√{3}-1)√{3} = 16(3 - √{3}) \).

Проверим \( ∠ C = 60^{\circ} \) из вариантов ответа. Это совпадает с нашим расчётом.

Ответ: Угол C равен 60°. AD равен \( 16(3 - √{3}) \).