В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 40 см, AB = 2BD. Чему равен угол C? Варианты: 30°, 45°, 60°, 90°, нет верного варианта. Найдите AD.

Обозначим ∠C = γ. Поскольку BD — высота к гипотенузе AC, треугольники ABD и ABC подобны.

В прямоугольном треугольнике ABD: sin γ = BD / AB. По условию AB = 2BD, поэтому sin γ = 1/2 и γ = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC: AB = AC · sin γ = 40 · 1/2 = 20 см.

По теореме о проекциях катета на гипотенузу: AB² = AC · AD. Тогда AD = 20² / 40 = 10 см.

Ответ: ∠C = 30°; AD = 10 см.