В треугольнике ABC угол B равен 51°, угол C равен 66°, AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Найдём угол при вершине A: \(\angle A=180^\circ-51^\circ-66^\circ=63^\circ\). Так как AD — биссектриса, \(\angle CAD=31{,}5^\circ\).

В треугольнике ACE стороны AE и AC равны, а угол CAE равен 63°. Поэтому \(\angle ACE=\angle CEA=58{,}5^\circ\).

Так как D лежит на CB, \(\angle ACD=66^\circ\), откуда \(\angle DCE=66^\circ-58{,}5^\circ=7{,}5^\circ\).

По теореме синусов в треугольнике ACD, \(CD/AC=\sin31{,}5^\circ/\sin82{,}5^\circ\). В равнобедренном треугольнике ACE, \(CE=2AC\sin31{,}5^\circ\). Следовательно, \(CE/CD=2\sin82{,}5^\circ=2\cos7{,}5^\circ\).

По теореме синусов в треугольнике CDE:

\(\sin\angle CDE=(CE/CD)\sin7{,}5^\circ=2\cos7{,}5^\circ\sin7{,}5^\circ=\sin15^\circ\).

Значит, угол CDE равен 15° или 165°. Поскольку \(CE/CD=2\cos7{,}5^\circ>1\), стороне CE противолежит больший угол: \(\angle CDE>\angle CED\). Поэтому \(\angle CDE=165^\circ\), а не 15°.

Луч DB противоположен лучу DC, поэтому \(\angle BDE=180^\circ-\angle CDE=15^\circ\).

Ответ: 15°.