В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = BC, BH — высота. Найдите длину BH, если AC = 18 см.

Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, его катеты равны: \(AB=BC\). Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

\[BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}.\]

В равнобедренном прямоугольном треугольнике \(AC=AB\sqrt{2}\), поэтому \(AB=BC=\frac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}\) см.

Тогда

\[BH=\frac{(9\sqrt{2})^2}{18}=\frac{162}{18}=9\text{ см}.\]

Ответ: 9 см.