В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}, АВ = 28. Найдите AC.

Ответ: AC = 6

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим тангенс угла A.

Дано: tgA = \frac{2\sqrt{10}}{3}

• Шаг 2: В прямоугольном треугольнике ABC, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

tgA = \frac{BC}{AC}

• Шаг 3: Выразим BC через AC и tgA:

BC = AC ⋅ tgA = AC ⋅ \frac{2\sqrt{10}}{3}

• Шаг 4: Используем теорему Пифагора:

AB² = AC² + BC²

• Шаг 5: Подставим выражение для BC:

28² = AC² + (AC ⋅ \frac{2\sqrt{10}}{3})²

• Шаг 6: Решаем уравнение относительно AC:

784 = AC² + AC² ⋅ \frac{40}{9}

784 = AC² ⋅ (1 + \frac{40}{9})

784 = AC² ⋅ \frac{49}{9}

AC² = 784 ⋅ \frac{9}{49}

AC² = 16 ⋅ 9

AC² = 144

• Шаг 7: Извлекаем квадратный корень, учитывая, что длина не может быть отрицательной:

AC = √144 = 12

АС = 12/2 = 6

AC = 6

Ответ: AC = 6