В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 82, $$tg A = \frac{4}{5}$$. Найдите высоту CH.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, известны гипотенуза AB = 82 и тангенс угла A, $$tg A = \frac{4}{5}$$. Нужно найти высоту CH, проведенную к гипотенузе. 1. Найдем катеты AC и BC. По определению тангенса: $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}$$. Пусть BC = 4x, AC = 5x. 2. Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$82^2 = (5x)^2 + (4x)^2$$ $$6724 = 25x^2 + 16x^2$$ $$6724 = 41x^2$$ $$x^2 = \frac{6724}{41} = 164$$ $$x = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$ 3. Тогда катеты равны: $$BC = 4x = 4 \cdot 2\sqrt{41} = 8\sqrt{41}$$ $$AC = 5x = 5 \cdot 2\sqrt{41} = 10\sqrt{41}$$ 4. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$ $$\frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{41} \cdot 8\sqrt{41} = \frac{1}{2} \cdot 82 \cdot CH$$ $$40 \cdot 41 = 41 \cdot CH$$ $$CH = \frac{40 \cdot 41}{41}$$ $$CH = 40$$ Ответ: 40