В треугольнике ABC угол C равен 90° AB=51 tg A=\frac{3}{4} найти высоту

Решение:

Пусть дана высота CH, проведенная к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

\[ tg\ A = \frac{BC}{AC} \]

Дано, что tg A = \frac{3}{4}. Тогда, \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}, следовательно, можно сказать, что BC = 3x, AC = 4x для некоторого x.

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем значения:

\[ 51^2 = (4x)^2 + (3x)^2 \] \[ 2601 = 16x^2 + 9x^2 \] \[ 2601 = 25x^2 \] \[ x^2 = \frac{2601}{25} \] \[ x = \sqrt{\frac{2601}{25}} = \frac{51}{5} = 10.2 \]

Теперь находим BC и AC:

\[ BC = 3x = 3 \cdot 10.2 = 30.6 \] \[ AC = 4x = 4 \cdot 10.2 = 40.8 \]

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)
2. Через высоту и основание: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \)

Приравниваем оба выражения для площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \] \[ AC \cdot BC = AB \cdot CH \] \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]

Подставляем значения:

\[ CH = \frac{40.8 \cdot 30.6}{51} = \frac{1248.48}{51} = 24.48 \]

Ответ: 24.48