15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 9, tg A = 4√13/9 (см. рис. 215). Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ дано $$AC = 9$$ и $$\tan A = \frac{4\sqrt{13}}{9}$$. Нужно найти $$AB$$. Тангенс угла $$A$$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$\tan A = \frac{BC}{AC}$$ Выразим $$BC$$: $$BC = AC \cdot \tan A = 9 \cdot \frac{4\sqrt{13}}{9} = 4\sqrt{13}$$ По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 9^2 + (4\sqrt{13})^2 = 81 + 16 \cdot 13 = 81 + 208 = 289$$ $$AB = \sqrt{289} = 17$$ Ответ: 17