В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС=5, cos A = \frac{5\sqrt{41}}{41}. Найдите длину стороны ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

$$cos A = \frac{AC}{AB}$$

Из условия задачи известно, что cos A = \frac{5\sqrt{41}}{41} и AC = 5. Подставим эти значения в формулу:

$$\frac{5\sqrt{41}}{41} = \frac{5}{AB}$$

Выразим AB:

$$AB = \frac{5 \cdot 41}{5\sqrt{41}} = \sqrt{41}$$

Теперь, когда мы знаем AC и AB, можем найти BC с помощью теоремы Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$BC^2 = AB^2 - AC^2$$

Подставим известные значения:

$$BC^2 = (\sqrt{41})^2 - 5^2 = 41 - 25 = 16$$

$$BC = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: 4