В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 65, cos ∠A = \frac{4}{5}. Найдите ВС.

Для решения данной задачи воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике и теоремой Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$ Из условия задачи известно, что cos ∠A = \frac{4}{5} и AB = 65. Подставим эти значения в формулу: $$\frac{4}{5} = \frac{AC}{65}$$ Решим уравнение для AC: $$AC = \frac{4}{5} \times 65 = 52$$
2. Теперь, когда мы знаем длину катета AC и гипотенузы AB, мы можем найти длину катета BC, используя теорему Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$65^2 = 52^2 + BC^2$$ $$4225 = 2704 + BC^2$$ $$BC^2 = 4225 - 2704 = 1521$$ $$BC = \sqrt{1521} = 39$$

Ответ: 39