В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 80, $$sin A = \frac{1}{4}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH опущена на гипотенузу AB. Дано: $$AB = 80$$, $$sin A = \frac{1}{4}$$. Найти: AH. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем угол A – общий для треугольников ABC и AHC. Значит, $$cos A = \frac{AH}{AC}$$. Так как $$sin A = \frac{1}{4}$$, найдем $$cos A$$: $$\sin^2 A + cos^2 A = 1$$ $$cos^2 A = 1 - sin^2 A$$ $$cos^2 A = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$ $$cos A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ Рассмотрим треугольник ABC: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$, следовательно, $$BC = AB * sin A = 80 * \frac{1}{4} = 20$$. По теореме Пифагора найдем AC: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 80^2 - 20^2 = 6400 - 400 = 6000$$ $$AC = \sqrt{6000} = \sqrt{400 * 15} = 20\sqrt{15}$$ Теперь найдем AH из треугольника AHC: $$cos A = \frac{AH}{AC}$$ $$AH = AC * cos A = 20\sqrt{15} * \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{20 * 15}{4} = 5 * 15 = 75$$ Ответ: 75