В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 72, sinA=1/6. Найдите АН.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен 90°.
• Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[sin A = \frac{BC}{AB}\]
• Рассмотрим прямоугольный треугольник АCH, в котором угол H равен 90°.
• Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[sin A = \frac{CH}{AC}\]
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. AH - это катет, AC - гипотенуза.
• Нам известен синус угла A и гипотенуза AB.
• Выразим катет AH через синус угла A и гипотенузу AB:

Шаг 1: Находим длину катета BC:

• \(sin A = \frac{BC}{AB}\)
• \(BC = AB \cdot sin A = 72 \cdot \frac{1}{6} = 12\)

Шаг 2: Находим длину катета AC, используя теорему Пифагора:

• \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
• \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 72^2 - 12^2 = 5184 - 144 = 5040\)
• \(AC = \sqrt{5040} = 12\sqrt{35}\)

Шаг 3: Используем подобие треугольников ABC и ACH:

• Треугольники ABC и ACH подобны по двум углам (угол A - общий, углы C и H - прямые).
• В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны:
• \(\frac{AH}{BC} = \frac{AC}{AB}\)
• Выразим AH:
• \(AH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12\sqrt{35} \cdot 12}{72} = \frac{144\sqrt{35}}{72} = 2\sqrt{35}\)

Шаг 4: Найдем АH:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник АHC:
• \(sin A = \frac{CH}{AC}\)
• Выразим CH:
• \(AH = AC \cdot cos A\)
• \(cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
• \(AH = AC \cdot cos A = 12\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{12 \cdot 35}{6} = 2 \cdot 35 = 70\)

Шаг 5: Выразим АH через известные величины. \(sin A = \frac{CH}{AC}\), тогда \(CH = AC \cdot sin A\). \(AH = AB \cdot cos A\)

• Найдем косинус угла А:
• \(cos^2 A + sin^2 A = 1\)
• \(cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
• Тогда:
• \(AH = AC \cdot cos A = 72 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 12 \sqrt{35}\)
• Но это не число, значит надо решать другим способом.

Шаг 6: Найдем АH:

• \(sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{1}{6}\)
• \(AH = AB \cdot sin A\)
• \(AH = 72 \cdot \frac{1}{6} = 12\)