В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 15, tg A = 4/3. Найдите BH.

Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, CH – высота, AB = 15, $$tg A = \frac{4}{3}$$. Найти BH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC (∠C = 90°). Тангенс угла A определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$$

Выразим BC через AC: $$BC = \frac{4}{3}AC$$

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$15^2 = AC^2 + (\frac{4}{3}AC)^2$$

$$225 = AC^2 + \frac{16}{9}AC^2$$

$$225 = \frac{9}{9}AC^2 + \frac{16}{9}AC^2$$

$$225 = \frac{25}{9}AC^2$$

$$AC^2 = \frac{225 \cdot 9}{25}$$

$$AC^2 = 9 \cdot 9 = 81$$

$$AC = \sqrt{81} = 9$$

Теперь найдем BC:

$$BC = \frac{4}{3}AC = \frac{4}{3} \cdot 9 = 4 \cdot 3 = 12$$

Рассмотрим треугольник BCH (∠H = 90°). По определению синуса угла B:

$$sin B = \frac{CH}{BC}$$

Рассмотрим треугольник ABC (∠C = 90°). По определению синуса угла A:

$$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$

Теперь найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

$$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

$$cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

В прямоугольном треугольнике ABC: $$∠A + ∠B = 90°$$, следовательно, $$∠B = 90° - ∠A$$.

Тогда $$sin B = sin(90° - A) = cos A = \frac{3}{5}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH:

$$sin B = \frac{CH}{BC}$$, значит, $$CH = BC \cdot sin B = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$$

В прямоугольном треугольнике BCH по теореме Пифагора:

$$BC^2 = BH^2 + CH^2$$

$$BH^2 = BC^2 - CH^2 = 12^2 - (7.2)^2 = 144 - 51.84 = 92.16$$

$$BH = \sqrt{92.16} = 9.6$$

Ответ: BH = 9.6