В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка BH.

В треугольнике ABC, где угол C = 90°, нам дано: AB = 45, sin A = \frac{2}{3}. Нужно найти длину отрезка BH.

Смотри, тут всё просто:

1. Найдем сторону BC, используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

   \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{2}{3} = \frac{BC}{45}\]

   Решим уравнение относительно BC:

   \[BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30\]

2. Рассмотрим треугольники ABC и CBH. Они подобны, так как:

   • ∠C прямой в ABC и ∠H прямой в CBH
   • ∠B общий для обоих треугольников

   Из подобия треугольников следует пропорция:

   \[\frac{BH}{BC} = \frac{BC}{AB}\]

3. Подставим известные значения:

   \[\frac{BH}{30} = \frac{30}{45}\]

4. Решим уравнение относительно BH:

   \[BH = \frac{30 \cdot 30}{45} = \frac{900}{45} = 20\]

Ответ: 20

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение BH (20) меньше, чем AB (45), что логично для отрезка внутри гипотенузы.

Доп. профит: Уровень Эксперт – Помни, что подобие треугольников – мощный инструмент в геометрии! Всегда ищи подобные треугольники в задачах с высотами и прямыми углами.