В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90°$$, $$CH$$ — высота, $$AB = 90$$, $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Найдите длину отрезка $$BH$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$. Значит, $$BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCH$$. В нем $$\angle CBH = 90° - \angle BCH = \angle A$$, так как $$\angle A + \angle B = 90°$$ и $$\angle B = \angle CBH$$. Тогда $$\cos A = \frac{BH}{BC}$$, следовательно $$BH = BC \cdot \cos A$$. Нам известно $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Найдем $$\cos A$$ по основному тригонометрическому тождеству: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$. $$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$. $$\cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Теперь найдем $$BH$$: $$BH = 30 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$$. Ответ: $$20\sqrt{2}$$