В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sinA=\frac{2}{3}. Найдите длину отрезка BH.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим BC, используя синус угла A: sinA = \frac{BC}{AB}
2. Подставляем известные значения: \frac{2}{3} = \frac{BC}{45}
3. Решаем уравнение: BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30
4. Шаг 2: Находим AH, используя косинус угла A:\[\cos A = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 A}}{1} = \frac{\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2}}{1} = \frac{\sqrt{1 - \frac{4}{9}}}{1} = \frac{\sqrt{\frac{5}{9}}}{1} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]
5. \(AC = AB*cosA = 45*\frac{\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5}\)
6. Шаг 3: Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором CH - высота, опущенная из прямого угла. Выразим катет AC, используя теорему Пифагора:\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]
7. \[AC = \sqrt{45^2 - 30^2} = \sqrt{2025 - 900} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}\]
8. Шаг 4: Чтобы найти высоту CH, можно воспользоваться формулой: \[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\]
9. \[CH = \frac{15\sqrt{5} \cdot 30}{45} = 10\sqrt{5}\]
10. Шаг 5: Найдем сторону BH из треугольника BHC: \(BC^2 = BH^2 + CH^2\)
11. Подставляем значения: \(30^2 = BH^2 + (10\sqrt{5})^2\)
12. \(900 = BH^2 + 500\)
13. Решаем относительно BH:\[BH^2 = 900 - 500\]\[BH^2 = 400\]\[BH = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20