В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка ВН.

Дано: \(\triangle ABC\) - прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\) \(CH\) - высота, \(AB = 45\), \(\sin A = \frac{2}{3}\). Найти: \(BH\) Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\). Выразим катет \(BC\) через гипотенузу \(AB\) и синус угла \(A\): \(\sin A = \frac{BC}{AB}\) \(BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 15 \cdot 2 = 30\). 2. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\). Выразим \(\cos A\) через основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) \(\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\) 3. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\). Выразим катет \(AH\) через гипотенузу \(AB\) и косинус угла \(A\): \(\cos A = \frac{AH}{AB}\) 4. Выразим катет \(BH\) из прямоугольного \(\triangle BCH\). Для этого рассмотрим \(\triangle ABC\) и применим теорему Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(45^2 = AC^2 + 30^2\) \(AC^2 = 45^2 - 30^2 = 2025 - 900 = 1125\) \(AC = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5}\) 5. Запишем теорему Пифагора для \(\triangle ACH\): \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) \(CH^2 = AC^2 - AH^2\) 6. Запишем теорему Пифагора для \(\triangle BCH\): \(BC^2 = BH^2 + CH^2\) \(CH^2 = BC^2 - BH^2\) 7. Приравняем выражения для \(CH^2\): \(AC^2 - AH^2 = BC^2 - BH^2\) \(1125 - AH^2 = 900 - BH^2\) 8. Выразим \(AH\) через \(AB\) и \(\cos A\): \(AH = AB \cdot \cos A = 45 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5}\) 9. Подставим найденное значение \(AH\) в уравнение из пункта 7: \(1125 - (15\sqrt{5})^2 = 900 - BH^2\) \(1125 - 225 \cdot 5 = 900 - BH^2\) \(1125 - 1125 = 900 - BH^2\) \(0 = 900 - BH^2\) \(BH^2 = 20\) 10. Найдем \(BH\): \(BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{30^2}{45} = \frac{900}{45} = 20\) Ответ: \(\bf{20}\)