В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AC = 14, sin A = 3/5. Найдите BH.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), CH - высота, AC = 14, $$sin A = \frac{3}{5}$$. Найти: BH.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Отсюда, $$BC = AB \cdot sin A$$.

2. По теореме Пифагора для треугольника ABC: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$. Подставим $$BC = AB \cdot sin A$$:

   $$AB^2 = AC^2 + (AB \cdot sin A)^2$$

   $$AB^2 = AC^2 + AB^2 \cdot sin^2 A$$

   $$AB^2 - AB^2 \cdot sin^2 A = AC^2$$

   $$AB^2(1 - sin^2 A) = AC^2$$

   $$AB^2 \cdot cos^2 A = AC^2$$

   $$AB^2 = \frac{AC^2}{cos^2 A}$$

   $$AB = \frac{AC}{cos A}$$

3. Найдем $$cos A$$. Из основного тригонометрического тождества: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

   $$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

   $$cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

4. Теперь найдем AB: $$AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{14}{\frac{4}{5}} = 14 \cdot \frac{5}{4} = \frac{70}{4} = 17.5$$

5. Найдем BC: $$BC = AB \cdot sin A = 17.5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{17.5 \cdot 3}{5} = \frac{52.5}{5} = 10.5$$

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол BCH = 90° - угол B. Угол A = 90° - угол B. Следовательно, угол BCH = углу A. Тогда $$cos A = \frac{BH}{BC}$$.

   $$BH = BC \cdot cos A = 10.5 \cdot \frac{4}{5} = \frac{10.5 \cdot 4}{5} = \frac{42}{5} = 8.4$$

Ответ: BH = 8.4