В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, АВ = 45, sinA=\(\frac{2}{3}\). Найдите длину отрезка ВН.

Ответ: 20

Смотри, как это работает:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

2. Выразим BC:

\[BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\]

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нём BH является прилежащим катетом к углу CBH, который равен углу A (так как углы CAH и BCH дополняют угол A до 90 градусов).
4. Косинус угла CBH (или угла A) можно найти, используя основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]\[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

5. В прямоугольном треугольнике BCH, косинус угла CBH (угла A) определяется как отношение прилежащего катета (BH) к гипотенузе (BC):

\[\cos A = \frac{BH}{BC}\]

6. Выразим BH:

\[BH = BC \cdot \cos A = 30 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10\sqrt{5}\]

7. Рассмотрим другой подход. Так как \(\triangle ABC \sim \triangle CBH\), то \(\angle A = \angle BCH\). Тогда \(\cos A = \frac{BH}{BC}\), следовательно, \(BH = BC \cdot \cos A\). Найдём \(BC\) через синус угла \(A\):

\[\sin A = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\]

8. Найдём \(AH\) по теореме Пифагора для треугольника \(ABC\):

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{45^2 - 30^2} = \sqrt{2025 - 900} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}\]

9. Теперь найдём \(\cos A\):

\[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15\sqrt{5}}{45} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

10. Найдём \(BH\):

\[BH = BC \cdot \cos A = 30 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10\sqrt{5} \approx 22.36\]\[ \frac{BH}{AB} = \cos^2(A)\]\[BH = 45 \cdot (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 45 \cdot \frac{5}{9} = 5 \cdot 5 = 25\]

Ответ: 25