В треугольнике ABC угол C равен 90°, $$cosA = \frac{\sqrt{17}}{17}$$, BC = 2. Найдите AC.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $$cosA = \frac{\sqrt{17}}{17}$$, BC = 2. Найдите AC.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для решения данной задачи, нам нужно воспользоваться определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

$$cosA = \frac{AC}{AB}$$

Мы знаем, что $$cosA = \frac{\sqrt{17}}{17}$$. Значит,

$$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$

Также нам известно, что BC = 2. Катет BC является противолежащим углу A. Мы можем выразить гипотенузу AB через катет BC и косинус угла A, используя определение косинуса.

В прямоугольном треугольнике можно выразить тангенс угла A как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

$$tgA = \frac{BC}{AC}$$

А также известно, что $$cosA = \frac{\sqrt{17}}{17}$$.

Выразим $$sinA$$ через $$cosA$$, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2A + cos^2A = 1$$ $$sin^2A = 1 - cos^2A$$ $$sin^2A = 1 - (\frac{\sqrt{17}}{17})^2 = 1 - \frac{17}{289} = \frac{289 - 17}{289} = \frac{272}{289}$$ $$sinA = \sqrt{\frac{272}{289}} = \frac{\sqrt{272}}{17} = \frac{\sqrt{16 \cdot 17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$

Теперь можем найти тангенс угла A:

$$tgA = \frac{sinA}{cosA} = \frac{\frac{4\sqrt{17}}{17}}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = 4$$

Теперь, зная, что $$tgA = \frac{BC}{AC}$$, и $$BC = 2$$, мы можем найти AC:

$$4 = \frac{2}{AC}$$ $$AC = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Проверим другой подход, используя теорему Пифагора.

Так как $$cosA = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$, то $$AC = AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17}$$.

Также, по теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим $$AC$$:

$$AB^2 = (AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17})^2 + 2^2$$ $$AB^2 = AB^2 \cdot \frac{17}{289} + 4$$ $$AB^2 - AB^2 \cdot \frac{17}{289} = 4$$ $$AB^2(1 - \frac{17}{289}) = 4$$ $$AB^2(\frac{289 - 17}{289}) = 4$$ $$AB^2(\frac{272}{289}) = 4$$ $$AB^2 = 4 \cdot \frac{289}{272} = \frac{289}{68}$$ $$AB = \sqrt{\frac{289}{68}} = \frac{17}{2\sqrt{17}} = \frac{17\sqrt{17}}{34} = \frac{\sqrt{17}}{2}$$

Теперь найдем AC:

$$AC = AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 0.5