В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН - высота, АВ = 50, sin A = 0,4. Найдите длину отрезка ВН.

Ответ: 8

1. Шаг 1: Найдем катет BC.

   Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

   Подставляем известные значения: \[0.4 = \frac{BC}{50}\]

   Находим BC: \[BC = 0.4 \cdot 50 = 20\]

2. Шаг 2: Найдем AH.

   Используем основное тригонометрическое тождество: \[\cos^2 A + \sin^2 A = 1\]

   Находим косинус угла A: \[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0.4^2} = \sqrt{1 - 0.16} = \sqrt{0.84}\]

   Используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[\cos A = \frac{AC}{AB}\]

   Находим AC: \[AC = AB \cdot \cos A = 50 \cdot \sqrt{0.84} \approx 45.83\]

3. Шаг 3: Найдем BH.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник СHB. Тогда по теореме Пифагора: \[BC^2 = CH^2 + BH^2\]

   Выразим BH через BC и CH: \[BH = \sqrt{BC^2 - CH^2}\]

4. Шаг 4: Найдем CH.

   Известно, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: \[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{45.83 \cdot 20}{50} \approx 18.332\]

5. Шаг 5: Найдем BH.

   \[BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - 18.332^2} = \sqrt{400 - 336.06} = \sqrt{63.94} \approx 7.996 \approx 8\]

Ответ: 8