В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=8, sin A = √15/4. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

Дано:

• Угол C = 90°
• AB = 8
• \( \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4} \)

Найти:

• AC

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

1. Найдем \( \cos A \):
   \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \)
   \( \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 \)
   \( \cos^2 A = 1 - \frac{15}{16} \)
   \( \cos^2 A = \frac{16 - 15}{16} \)
   \( \cos^2 A = \frac{1}{16} \)
   Так как A — острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \cos A > 0 \).
   \( \cos A = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \)
2. Косинус угла A также определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
3. Теперь найдем длину стороны AC:
   \( AC = AB \cdot \cos A \)
   \( AC = 8 \cdot \frac{1}{4} \)
   \( AC = 2 \)

Ответ: AC = 2.