В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = 3/13. Найдите длину стороны BC.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой (90 градусов). Известно, что сторона AC равна 6, а косинус угла A — это 3/13. Нужно найти длину стороны BC.

Дано:

• Треугольник ABC
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 6 \]
• \[ \cos A = \frac{3}{13} \]

Найти:

• \[ BC \]

Решение:

Вспомним, что такое косинус в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае, для угла A:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Мы знаем, что $$

cos A =

\frac{3}{13} \f$$ и $$

AC = 6 \f$$. Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{3}{13} = \frac{6}{AB} \]

Теперь найдем длину гипотенузы AB. Для этого решим пропорцию:

\[ 3 \cdot AB = 6 \cdot 13 \]\[ 3 \cdot AB = 78 \]\[ AB = \frac{78}{3} \]\[ AB = 26 \]

Отлично! Мы нашли длину гипотенузы AB. Теперь нам нужно найти длину катета BC. Для этого можно использовать теорему Пифагора, которая гласит:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 6^2 + BC^2 = 26^2 \]\[ 36 + BC^2 = 676 \]\[ BC^2 = 676 - 36 \]\[ BC^2 = 640 \]\[ BC = \sqrt{640} \]

Давай упростим корень из 640. Разложим 640 на множители:

\[ 640 = 64 \cdot 10 \]

Тогда:

\[ BC = \sqrt{64 \cdot 10} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{10} = 8 \sqrt{10} \]

Ответ:

$$

BC = 8 \sqrt{10} \f$$.