В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, tg A = 2√10 / 3. Найдите AB.

Привет! Давай разберём эту задачу по геометрии вместе. Она про прямоугольный треугольник, так что нам помогут тригонометрические функции.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°
• AC = 6
• \[ \text{tg } A = \frac{2\sqrt{10}}{3} \]

Найти:

• AB

Решение:

1. Вспоминаем, что такое тангенс: В прямоугольном треугольнике тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае:

   \[ \text{tg } A = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} \]

   Мы знаем, что tg A = \(\frac{2√10}{3}\) и AC = 6. Подставим эти значения в формулу:

   \[ \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{\text{BC}}{6} \]

2. Находим длину катета BC: Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 6:

   \[ \text{BC} = 6 \times \frac{2\sqrt{10}}{3} \]

   Сокращаем 6 и 3:

   \[ \text{BC} = 2 \times 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

3. Используем теорему Пифагора: Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов (AC = 6 и BC = 4√10), мы можем найти гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
4. Подставляем значения и вычисляем:

   \[ AB^2 = 6^2 + (4\sqrt{10})^2 \]

   \[ AB^2 = 36 + (16 \times 10) \]

   \[ AB^2 = 36 + 160 \]

   \[ AB^2 = 196 \]

5. Находим AB: Извлекаем квадратный корень из 196:

   \[ AB = \sqrt{196} \]

   Мы знаем, что 14 * 14 = 196.

   \[ AB = 14 \]

Ответ: 14