В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка BH.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ CH \] — высота
• \[ AB = 36 \]
• \[ \sin A = \frac{5}{6} \]

Найти:

• \[ BH \]

Решение:

1. Находим синус угла B:
   В прямоугольном треугольнике ABC: \[ \angle A + \angle B = 90^{\circ} \].
   Следовательно, \[ \sin B = \cos A \].
   Найдем \[ \cos A \] по основному тригонометрическому тождеству: \[ \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \] \[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \] \[ \cos^2 A = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^2 \] \[ \cos^2 A = 1 - \frac{25}{36} \] \[ \cos^2 A = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36} \] \[ \cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \] (так как угол A острый, косинус положителен).
   Значит, \[ \sin B = \cos A = \frac{\sqrt{11}}{6} \]
2. Находим высоту CH:
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \[ CH = AB \cdot \sin A \] \[ CH = 36 \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot 5 = 30 \]
3. Находим отрезок BH:
   В прямоугольном треугольнике CBH:
   \[ BH = BC \cdot \sin C \] - это неверно, т.к. \[ \angle C = 90^{\circ} \]
   В прямоугольном треугольнике CBH:
   \[ BH = BC \cdot \sin B \] - тоже неверно.
   В прямоугольном треугольнике CBH:
   \[ BH = CH \cdot \text{ctg} B \] - можно, но сложнее.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:
   \[ BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30 \] (это мы уже нашли, что CH = 30, что означает, что BC = 30. В прямоугольном треугольнике CH = BC * sin B, но CH = 30, BC = 30, sin B = sqrt(11)/6. 30 = 30 * sqrt(11)/6 - неверно.)
4. Переосмысливаем:
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \[ BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30 \]
5. Находим отрезок BH:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH (угол H = 90°):
   \[ BH = BC \cdot \sin B \]
   Мы нашли \[ \sin B = \frac{\sqrt{11}}{6} \]
   \[ BH = 30 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 5 \cdot \sqrt{11} \]
6. Альтернативный способ (через отношение сторон):
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \[ \frac{CH}{AC} = \text{ctg} A \] \[ CH = AC \cdot \text{ctg} A \]
   В прямоугольном треугольнике CBH:
   \[ BH = BC \cdot \sin B \]
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \[ \frac{BH}{BC} = \cos B \] \[ BH = BC \cdot \cos B \]
   Нам известно \[ \sin B = \frac{\sqrt{11}}{6} \]
   \[ \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{11}{36}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \]
   Мы нашли \[ BC = 30 \]
   \[ BH = 30 \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot 5 = 25 \]
7. Проверка:
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \[ AC = AB \cdot \cos A = 36 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11} \]
   В прямоугольном треугольнике ACH:
   \[ AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11 \]
   \[ AH + BH = 11 + 25 = 36 = AB \] — Верно.

Ответ: 25