В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sinA = 5/6. Найдите длину отрезка AH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Нам дано, что \( \sin A = \frac{5}{6} \) и \( AB = 36 \). Подставим эти значения:

\[ \frac{5}{6} = \frac{BC}{36} \]

Найдем длину катета BC:

\[ BC = \frac{5}{6} \times 36 = 5 \times 6 = 30 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол C в треугольнике ABC равен 90°, CH — высота, значит, угол CHA также равен 90°.

В прямоугольном треугольнике ACH:

\[ \sin A = \frac{CH}{AC} \]

Нам нужно найти AH. Для этого сначала найдем AC. В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{36 - 25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \]

Теперь найдем AC, используя \( \cos A = \frac{AC}{AB} \):

\[ AC = AB \times \cos A = 36 \times \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11} \]

Теперь, зная AC, мы можем найти CH:

\[ CH = AC \times \sin A = 6\sqrt{11} \times \frac{5}{6} = 5\sqrt{11} \]

Наконец, найдем AH, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ACH:

\[ AH^2 = AC^2 - CH^2 \]

\[ AH^2 = (6\sqrt{11})^2 - (5\sqrt{11})^2 \]

\[ AH^2 = 36 \times 11 - 25 \times 11 \]

\[ AH^2 = (36 - 25) \times 11 = 11 \times 11 = 121 \]

\[ AH = \sqrt{121} = 11 \]

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, проведенная из вершины прямого угла. Тогда:

\[ CH^2 = AH imes BH \]

Также, \( AC^2 = AH imes AB \) и \( BC^2 = BH imes AB \).

Мы уже нашли \( BC = 30 \).

\[ BC^2 = BH imes AB \]

\[ 30^2 = BH \times 36 \]

\[ 900 = BH \times 36 \]

\[ BH = \frac{900}{36} = 25 \]

Зная BH, найдем AH:

\[ AH = AB - BH = 36 - 25 = 11 \]

Ответ: 11