В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sinA = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса острого угла: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
2. Подставим известные значения: \( \frac{2}{3} = \frac{BC}{45} \).
3. Найдём длину катета BC: \( BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30 \).
4. В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
5. Найдём квадрат длины катета AC: \( AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 30^2 = 2025 - 900 = 1125 \).
6. Найдём длину катета AC: \( AC = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5} \).
7. В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, проведенная из вершины прямого угла. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \) и \( S = \frac{1}{2} AB \cdot CH \).
8. Приравняем площади: \( AC \cdot BC = AB \cdot CH \).
9. Выразим высоту CH: \( CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15\sqrt{5} \cdot 30}{45} = \frac{15\sqrt{5} \cdot 2}{3} = 10\sqrt{5} \).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. По теореме Пифагора: \( BH^2 + CH^2 = BC^2 \).
11. Подставим известные значения: \( BH^2 + (10\sqrt{5})^2 = 30^2 \).
12. \( BH^2 + 100 \cdot 5 = 900 \).
13. \( BH^2 + 500 = 900 \).
14. \( BH^2 = 900 - 500 = 400 \).
15. Найдём длину отрезка BH: \( BH = \sqrt{400} = 20 \).

Ответ: 20.