В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 8, sin A = 0,15. Найдите BH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). Известно \( BC = 8 \) и \( \sin A = 0.15 \).

Тогда \( AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{8}{0.15} = \frac{800}{15} = \frac{160}{3} \).

В прямоугольном треугольнике \( CBH \) (где \( CH \) — высота), \( \angle CHB = 90^{\circ} \). Угол \( \angle C B H \) равен углу \( \angle CBA \) в треугольнике \( ABC \).

В треугольнике \( ABC \) \( \cos A = \frac{AC}{AB} \). Также \( \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \).

\[ \cos^2 A = 1 - (0.15)^2 = 1 - 0.0225 = 0.9775 \]

\[ \cos A = \sqrt{0.9775} \approx 0.9887 \]

Угол \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle A \) (так как \( CH \) — высота, \( \angle ACH = 90^{\circ} - \angle A \)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CBH \). \( \angle B \) общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle CBH \).

В \( \triangle ABC \): \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{160/3} = \frac{8 \cdot 3}{160} = \frac{24}{160} = 0.15 \). Это неверно, так как \( \cos B = \sin A \) только если \( A+B=90^{\circ} \), что верно для прямоугольного треугольника.

Поэтому \( \cos B = \sin A = 0.15 \).

В прямоугольном треугольнике \( CBH \), \( BH \) — катет, прилежащий к углу \( B \).

\[ \cos B = \frac{BH}{BC} \]

\[ 0.15 = \frac{BH}{8} \]

\[ BH = 8 \(\cdot\) 0.15 = 1.2 \).

Ответ: 1.2.