В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АH = 27, tgA = 2/3. Найдите ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle C = 90^{\circ}\)) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB. По условию \( AH = 27 \) и \( \text{tg} A = \frac{2}{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем \( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \).

Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{3} = \frac{CH}{27} \]

Выразим CH:

\[ CH = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем \( \text{tg} B = \frac{CH}{HB} \).

Также, в прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A \). Следовательно, \( \text{tg} B = \text{ctg} A = \frac{1}{\text{tg} A} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} \).

Подставим известные значения в треугольник CBH:

\[ \frac{3}{2} = \frac{18}{HB} \]

Выразим HB:

\[ HB = 18 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot 2 = 12 \]

Ответ: BH = 12.