В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 45, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка АН.

Решение:

1. Найдем длину катета BC:

   В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса угла A:

   \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

   Нам дано $$\sin A = \frac{1}{3}$$ и $$AB = 45$$. Подставим эти значения:

   \[ \frac{1}{3} = \frac{BC}{45} \]

   Чтобы найти $$BC$$, умножим обе стороны на 45:

   \[ BC = 45  \frac{1}{3} = 15 \]

   Итак, длина катета BC равна 15.

2. Найдем длину катета AC:

   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

   Подставим известные значения:

   \[ AC^2 + 15^2 = 45^2 \]

   Рассчитаем квадраты:

   \[ AC^2 + 225 = 2025 \]

   Вычтем 225 из обеих сторон, чтобы найти $$AC^2$$:

   \[ AC^2 = 2025 - 225 = 1800 \]

   Найдем $$AC$$ (длина должна быть положительной):

   \[ AC = \sqrt{1800} = \sqrt{900  2} = 30\sqrt{2} \]

   Итак, длина катета AC равна $$30\sqrt{2}$$.

3. Найдем длину отрезка AH:

   В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, опущенная на гипотенузу AB. Отрезок AH является проекцией катета AC на гипотенузу.

   Есть несколько способов найти AH. Воспользуемся формулой, связывающей катет, его проекцию на гипотенузу и гипотенузу:

   \[ AC^2 = AH  AB \]

   Подставим известные значения:

   \[ (30\sqrt{2})^2 = AH  45 \]

   Рассчитаем $$(30\sqrt{2})^2$$:

   \[ (30\sqrt{2})^2 = 30^2  (\sqrt{2})^2 = 900  2 = 1800 \]

   Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

   \[ 1800 = AH  45 \]

   Чтобы найти AH, разделим обе стороны на 45:

   \[ AH = \frac{1800}{45} \]

   Сократим дробь. Оба числа делятся на 5:

   \[ AH = \frac{360}{9} \]

   Теперь разделим 360 на 9:

   \[ AH = 40 \]

Ответ: 40