В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 80, sin A = 1/4. Найдите длину отрезка АН.

В прямоугольном треугольнике ABC, у которого угол C равен 90°, мы знаем, что \(AB = 80\) и \(\sin A = \frac{1}{4}\). Нам нужно найти длину отрезка AH, где CH — высота.

Сначала найдем длину катета BC, используя синус угла A:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

\[ \frac{1}{4} = \frac{BC}{80} \]

\[ BC = 80 \times \frac{1}{4} = 20 \]

Теперь найдем косинус угла A:

\[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Теперь найдем длину катета AC, используя косинус угла A:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

\[ \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{AC}{80} \]

\[ AC = 80 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 20\sqrt{15} \]

В прямоугольном треугольнике ACH, угол CHA равен 90°. Мы можем найти AH, используя косинус угла A:

\[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]

\[ \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{AH}{20\sqrt{15}} \]

\[ AH = 20\sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{20 \times 15}{4} = 5 \times 15 = 75 \]

Ответ: 75