В треугольнике ABC ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВМ. Найдите АН. Введите только число.

Решение:

В треугольнике ABC ВМ — медиана, значит, M — середина стороны AC. Так как AC = 84, то AM = MC = 42.

ВН — высота, значит, \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

В треугольнике BHC, BH — катет, HC — катет, BC — гипотенуза. По теореме Пифагора: \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).

В треугольнике BHM, BH — катет, HM — катет, BM — гипотенуза. По теореме Пифагора: \( BH^2 + HM^2 = BM^2 \).

По условию BC = BM, значит, \( BC^2 = BM^2 \).

Следовательно, \( BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2 \).

Отсюда следует, что \( HC^2 = HM^2 \), а значит, \( HC = HM \) (так как длины сторон положительны).

У нас есть два случая:

Случай 1: Точка H лежит между M и C.

Тогда \( MC = MH + HC \). Так как \( HC = HM \), то \( MC = 2 HC \).

Из этого следует, что \( HC = \frac{MC}{2} = \frac{42}{2} = 21 \).

Нам нужно найти AH. AH = AM + MH. Так как HM = HC = 21, то AH = 42 + 21 = 63.

Случай 2: Точка M лежит между H и C.

Тогда \( HC = HM + MC \).

Так как \( HC = HM \), то \( HM = HM + MC \), что означает \( MC = 0 \), что невозможно.

Случай 3: Точка C лежит между M и H.

Тогда \( MH = MC + CH \).

Так как \( HC = HM \), то \( HC = MC + HC \), что означает \( MC = 0 \), что невозможно.

Рассмотрим случай, когда M совпадает с H. Тогда BM = BH. Так как BM = BC, то BH = BC. Это возможно только если треугольник BHC вырожденный, что невозможно.

Введём систему координат. Пусть M — начало координат (0,0). Тогда A = (-42, 0), C = (42, 0).

Пусть H = (h, 0), B = (h, b).

По условию BM = BC.

\( BM^2 = (h-0)^2 + (b-0)^2 = h^2 + b^2 \)

\( BC^2 = (h-42)^2 + (b-0)^2 = (h-42)^2 + b^2 \)

\( h^2 + b^2 = (h-42)^2 + b^2 \)

\( h^2 = h^2 - 84h + 42^2 \)

\( 0 = -84h + 1764 \)

\( 84h = 1764 \)

\( h = \frac{1764}{84} = 21 \).

Так как H = (h, 0), то H = (21, 0).

AH — это расстояние от A (-42, 0) до H (21, 0).

AH = |21 - (-42)| = |21 + 42| = 63.

Ответ: 63