В треугольнике ABC высота AM делит сторону BC пополам. Докажите, что отрезок AM является биссектрисой треугольника ABC.

Так как AM — высота, то AM ⟂ BC, поэтому ∠AMB = ∠AMC = 90°.

По условию M делит BC пополам, следовательно, BM = MC. Сторона AM — общая для треугольников AMB и AMC.

Значит, прямоугольные треугольники AMB и AMC равны по двум катетам. Поэтому соответствующие углы равны: ∠BAM = ∠MAC.

Следовательно, AM делит угол A пополам и является биссектрисой треугольника ABC.