В треугольнике ABC ZC = 90°, cos B = 3/5. AB = 45. Найдите АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90° \)) косинус угла B равен отношению прилежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

\( \cos B = \frac{BC}{AB} \)

Нам дано \( \cos B = \frac{3}{5} \) и \( AB = 45 \). Подставим значения:

\( \frac{3}{5} = \frac{BC}{45} \)

Найдем длину катета BC:

\( BC = \frac{3}{5} \cdot 45 = 3 \cdot 9 = 27 \)

Теперь, используя теорему Пифагора \( (AC^2 + BC^2 = AB^2) \) или тригонометрическое соотношение для угла B, найдем AC.

Используем соотношение синуса:

\( \sin B = \frac{AC}{AB} \)

Сначала найдем \( \sin B \) из \( \cos B \), используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \).

\( \sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \)

Так как B — угол треугольника, \( \sin B > 0 \). Следовательно, \( \sin B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).

Теперь найдем AC:

\( AC = AB \cdot \sin B = 45 \cdot \frac{4}{5} = 9 \cdot 4 = 36 \)

Ответ: 36.