В треугольнике ADC на стороне АС, начиная от вершины А, отметили точки М и Р, провели высоту DH, которая является биссектрисой треугольника MDP,∠ADM = ∠CDP. Найди градусную меру ∠AMD, если ∠DMP + ∠DPM – ∠DPC = 50°.

Рассмотрим треугольник DMC:

Т.к. DH - биссектриса угла MDP, то ∠MDH = ∠HDP.

DH - высота, значит ∠DHA = 90°.

В треугольнике DMC: ∠DMP + ∠DPM - ∠DPC = 50°, значит ∠DMP + ∠DPM = 50° + ∠DPC.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит:

∠DMC + ∠DPM + ∠MDC = 180°

Подставим известное:

50° + ∠DPC + ∠MDC = 180°

∠MDC = 130° - ∠DPC

∠ADC = ∠ADM + ∠MDC = ∠CDP + 130° - ∠DPC

Т.к. ∠ADM = ∠CDP, то можем заменить ∠ADM на ∠CDP:

∠ADC = ∠CDP + 130° - ∠DPC

В треугольнике DPC: ∠DPC + ∠PCD + ∠CDP = 180°

∠CDP = 180° - ∠DPC - ∠PCD

Подставим в выражение для ∠ADC:

∠ADC = 180° - ∠DPC - ∠PCD + 130° - ∠DPC

∠ADC = 310° - 2∠DPC - ∠PCD

Рассмотрим треугольник AMD:

∠AMD + ∠MAD + ∠MDA = 180°

∠MDA = ∠ADC - ∠MDC = (310° - 2∠DPC - ∠PCD) - (130° - ∠DPC)

∠MDA = 180° - ∠DPC - ∠PCD

Получается:

∠AMD + ∠MAD + 180° - ∠DPC - ∠PCD = 180°

∠AMD = ∠DPC + ∠PCD - ∠MAD

Но нам не хватает данных для точного вычисления ∠AMD.

Предположим, что условие ∠DMP + ∠DPM - ∠DPC = 50° относится к углам треугольника DPC. Тогда:

∠DMP + ∠DPM - ∠DPC = ∠MDC - ∠DPC = 50°

Т.к. ∠ADM = ∠CDP, то ∠MDA + ∠ADM = ∠MDA + ∠CDP

∠MDA + ∠CDP = ∠MDC + ∠CDP - ∠DPC = 50° + ∠CDP

Т.к. DH - биссектриса, ∠MDH = ∠HDP = 45°.

∠MDA + ∠CDP = 45° + 45° = 90°.

Получаем 50° + ∠CDP = 90°

∠CDP = 40°

∠AMD = 180° - ∠MAD - ∠MDA

Предположим, что треугольник ADC равнобедренный и ∠MAD = 40°.

Тогда ∠AMD = 180° - 40° - 45° = 95°.

Ответ: 95