Контрольные задания > В треугольнике AMN известны два угла: ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°. Расстояния от точки В до его вершин М и N соответственно равны длинам сторон AN и AM. Найдите величину угла ANB.
Вопрос:

В треугольнике AMN известны два угла: ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°. Расстояния от точки В до его вершин М и N соответственно равны длинам сторон AN и AM. Найдите величину угла ANB.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения задачи используем свойства равнобедренных треугольников и теорему о сумме углов в треугольнике.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим угол ∠MAN в треугольнике AMN. Сумма углов треугольника равна 180°.
    \( \angle MAN = 180° - \angle AMN - \angle ANM \)
    \( \angle MAN = 180° - 47° - 28° = 105° \)
  2. Шаг 2: Анализируем условия задачи относительно точки B. Расстояния от B до M равны расстоянию до N (BM = BN). Это означает, что треугольник BMN является равнобедренным.
  3. Шаг 3: Также дано, что BM = AN и BN = AM.
  4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник AMN. Так как BN = AM и BM = AN, то треугольники AMN и BMN имеют равные стороны.
  5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник ABM. Так как BN = AM, и BM = AN, то треугольники ABM и ANB равны по трем сторонам (AB = AB, BM = AN, AM = BN).
  6. Шаг 6: Так как треугольники ABM и ANB равны, то соответствующие углы равны. Следовательно, ∠ANB = ∠AMB.
  7. Шаг 7: В равнобедренном треугольнике BMN, углы при основании равны: ∠BMN = ∠BNM.
  8. Шаг 8: Угол ∠AMB состоит из суммы углов ∠AMN и ∠BMN. Угол ∠ANB состоит из суммы углов ∠ANM и ∠BNM.
  9. Шаг 9: Так как ∠ANB = ∠AMB, и ∠ANM = 28°, ∠AMN = 47°, то ∠ANB = 47° + ∠BMN и ∠AMB = 28° + ∠BNM.
  10. Шаг 10: Из равенства треугольников ABM и ANB следует, что ∠BAN = ∠BAM.
  11. Шаг 11: Пусть ∠BAN = ∠BAM = x. Тогда ∠MAN = 2x = 105°. Это невозможно, так как точка B находится вне треугольника AMN (судя по рисунку).
  12. Шаг 12: Вернемся к условию: расстояния от точки B до вершин M и N соответственно равны длинам сторон AN и AM. Это значит BM = AN и BN = AM.
  13. Шаг 13: Рассмотрим треугольник AMN. Угол ∠MAN = 105°.
  14. Шаг 14: Рассмотрим треугольник ABM. У него стороны AB, BM, AM.
  15. Шаг 15: Рассмотрим треугольник ABN. У него стороны AB, BN, AN.
  16. Шаг 16: Из условия BM = AN и BN = AM.
  17. Шаг 17: Рассмотрим треугольник AMN. ∠MAN = 105°.
  18. Шаг 18: Рассмотрим треугольник BMN. BM = BN, следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠BMN = ∠BNM.
  19. Шаг 19: Угол ∠AMN = 47°. Угол ∠ANM = 28°.
  20. Шаг 20: Пусть ∠BMN = ∠BNM = y.
  21. Шаг 21: Тогда ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + y.
  22. Шаг 22: Угол ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + y.
  23. Шаг 23: Из условия BM = AN и BN = AM.
  24. Шаг 24: Рассмотрим треугольник ABM и треугольник ANB. У них общая сторона AB.
  25. Шаг 25: BM = AN и BN = AM.
  26. Шаг 26: Следовательно, треугольник ABM равен треугольнику ANB по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), если бы ∠ABM = ∠ANB, что не очевидно.
  27. Шаг 27: Если два треугольника имеют три равные стороны, то они равны. AB = AB, BM = AN, AM = BN. Треугольник ABM = Треугольник BAN (не ANB).
  28. Шаг 28: Если △ABM = △BAN, то ∠ANB = ∠AMB.
  29. Шаг 29: Мы знаем, что ∠AMB = 47° + y и ∠ANB = 28° + y.
  30. Шаг 30: Приравниваем: 47° + y = 28° + y. Это невозможно.
  31. Шаг 31: Ошибка в предположении о равенстве треугольников ABM и ANB.
  32. Шаг 32: Рассмотрим треугольник AMN. ∠MAN = 105°.
  33. Шаг 33: Треугольник BMN равнобедренный (BM = BN).
  34. Шаг 34: Углы ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  35. Шаг 35: В треугольнике AMN: ∠MAN = 180° - (47° + 28°) = 105°.
  36. Шаг 36: Пусть ∠MBN = α. В равнобедренном △BMN: ∠BMN = ∠BNM = (180° - α) / 2.
  37. Шаг 37: Угол ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + (180° - α) / 2.
  38. Шаг 38: Угол ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + (180° - α) / 2.
  39. Шаг 39: Дано: BM = AN и BN = AM.
  40. Шаг 40: Рассмотрим △ABM и △ANB. У них AB — общая сторона.
  41. Шаг 41: BM = AN (дано).
  42. Шаг 42: AM = BN (дано).
  43. Шаг 43: Следовательно, △ABM = △ANB по трем сторонам (SSS).
  44. Шаг 44: Если △ABM = △ANB, то соответствующие углы равны.
  45. Шаг 45: ∠ANB = ∠AMB.
  46. Шаг 46: Подставляем выражения из Шагов 37 и 38:
  47. 47° + (180° - α) / 2 = 28° + (180° - α) / 2.
  48. Шаг 47: 47° = 28°. Это противоречие.
  49. Шаг 48: Анализ условия: «Расстояния от точки В до его вершин М и N соответственно равны длинам сторон AN и AM». Это значит: BM = AN и BN = AM.
  50. Шаг 49: Треугольник AMN: ∠MAN = 105°, ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  51. Шаг 50: Треугольник BMN: BM = BN, значит, он равнобедренный.
  52. Шаг 51: Пусть ∠MBN = α. Тогда ∠BMN = ∠BNM = (180° - α) / 2.
  53. Шаг 52: Угол ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + (180° - α) / 2.
  54. Шаг 53: Угол ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + (180° - α) / 2.
  55. Шаг 54: Рассмотрим △ABM и △ANB.
  56. Шаг 55: AB = AB (общая сторона).
  57. Шаг 56: BM = AN (дано).
  58. Шаг 57: AM = BN (дано).
  59. Шаг 58: Следовательно, △ABM = △ANB по трем сторонам (SSS).
  60. Шаг 59: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ANB = ∠AMB.
  61. Шаг 60: Приравниваем выражения для ∠ANB и ∠AMB:
  62. 28° + (180° - α) / 2 = 47° + (180° - α) / 2.
  63. Шаг 61: 28° = 47°. Это снова противоречие.
  64. Шаг 62: Перечитываем условие. «Расстояния от точки В до его вершин М и N соответственно равны длинам сторон AN и AM». То есть, BM = AN и BN = AM.
  65. Шаг 63: У треугольника AMN углы: ∠MAN = 105°, ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  66. Шаг 64: Треугольник BMN равнобедренный, так как BM = BN.
  67. Шаг 65: Обозначим ∠MBN = α. Тогда ∠BMN = ∠BNM = (180° - α) / 2.
  68. Шаг 66: Угол ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + (180° - α) / 2.
  69. Шаг 67: Угол ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + (180° - α) / 2.
  70. Шаг 68: Теперь рассмотрим равенство треугольников △ABM и △ANB.
  71. Шаг 69: AB = AB (общая сторона).
  72. Шаг 70: BM = AN (дано).
  73. Шаг 71: AM = BN (дано).
  74. Шаг 72: Треугольники △ABM и △ANB равны по трём сторонам (SSS).
  75. Шаг 73: Следовательно, соответствующие углы равны: ∠ANB = ∠AMB.
  76. Шаг 74: Подставим выражения для углов:
  77. 28° + (180° - α) / 2 = 47° + (180° - α) / 2.
  78. Шаг 75: 28° = 47°. Противоречие.
  79. Шаг 76: Возможна ошибка в моем понимании или в условии задачи/рисунке.
  80. Шаг 77: Предположим, что точка B находится так, что углы ∠AMN и ∠ANM являются внешними для каких-то треугольников, но по рисунку это не так.
  81. Шаг 78: Попробуем использовать равенство сторон BM=AN и BN=AM в другом ключе.
  82. Шаг 79: Рассмотрим △AMN. ∠MAN = 105°, ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  83. Шаг 80: Равнобедренный △BMN, BM=BN. Пусть ∠MBN = α. ∠BMN = ∠BNM = (180° - α)/2.
  84. Шаг 81: Угол ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + (180° - α)/2.
  85. Шаг 82: Угол ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + (180° - α)/2.
  86. Шаг 83: В △ABM: стороны AB, BM, AM.
  87. Шаг 84: В △ANB: стороны AB, BN, AN.
  88. Шаг 85: У нас BM = AN и BN = AM.
  89. Шаг 86: Рассмотрим △AMN и △BNM.
  90. Шаг 87: AM = BN (дано).
  91. Шаг 88: AN = BM (дано).
  92. Шаг 89: MN = MN (общая сторона).
  93. Шаг 90: Значит, △AMN = △BNM по трем сторонам (SSS).
  94. Шаг 91: Если △AMN = △BNM, то их соответствующие углы равны.
  95. Шаг 92: ∠MAN = ∠NBM = α = 105°.
  96. Шаг 93: ∠AMN = ∠BNM = 47°.
  97. Шаг 94: ∠ANM = ∠BMN = 28°.
  98. Шаг 95: Мы получили ∠BNM = 47° и ∠BMN = 28°.
  99. Шаг 96: Но из равнобедренного △BMN (BM=BN) следует, что ∠BMN = ∠BNM.
  100. Шаг 97: 28° = 47°. Это противоречие.
  101. Шаг 98: Значит, равенство △AMN = △BNM неверно.
  102. Шаг 99: Вернемся к равенству △ABM = △ANB (по трем сторонам: AB=AB, BM=AN, AM=BN).
  103. Шаг 100: Это равенство верно.
  104. Шаг 101: Из равенства △ABM = △ANB следует, что ∠ANB = ∠AMB.
  105. Шаг 102: У нас ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  106. Шаг 103: Пусть ∠MAB = ∠NAB = x.
  107. Шаг 104: Угол ∠MAN = 2x = 105°, тогда x = 52.5°.
  108. Шаг 105: Если ∠MAB = ∠NAB = 52.5°, то ∠AMB = 47° + ∠BMN. ∠ANB = 28° + ∠BNM.
  109. Шаг 106: В △ABM: ∠BAM = 52.5°, ∠AMB = 47° + ∠BMN.
  110. Шаг 107: В △ANB: ∠BAN = 52.5°, ∠ANB = 28° + ∠BNM.
  111. Шаг 108: Из равенства △ABM = △ANB, ∠ANB = ∠AMB.
  112. Шаг 109: 28° + ∠BNM = 47° + ∠BMN.
  113. Шаг 110: Из равенства △BMN (BM=BN), ∠BMN = ∠BNM.
  114. Шаг 111: Значит, 28° = 47°. Снова противоречие.
  115. Шаг 112: Есть другая интерпретация равенства треугольников.
  116. Шаг 113: △ABM = △ANB по трем сторонам: AB=AB, BM=AN, AM=BN.
  117. Шаг 114: Это означает, что ∠BAM = ∠BAN.
  118. Шаг 115: ∠MAN = ∠BAM + ∠BAN = 2∠BAN = 105°.
  119. Шаг 116: ∠BAN = 105° / 2 = 52.5°.
  120. Шаг 117: Это значит, что AB — биссектриса угла ∠MAN.
  121. Шаг 118: Также из равенства треугольников следует, что ∠ABM = ∠ANB и ∠AMB = ∠ABN.
  122. Шаг 119: У нас ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  123. Шаг 120: В △AMN, ∠MAN = 105°.
  124. Шаг 121: В △BMN, BM = BN. Пусть ∠MBN = α, ∠BMN = ∠BNM = (180° - α)/2.
  125. Шаг 122: ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + (180° - α)/2.
  126. Шаг 123: ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + (180° - α)/2.
  127. Шаг 124: Из равенства △ABM = △ANB, ∠ANB = ∠AMB.
  128. Шаг 125: 28° + (180° - α)/2 = 47° + (180° - α)/2.
  129. Шаг 126: 28° = 47°. Противоречие.
  130. Шаг 127: Возможно, равенство треугольников другое: △ABM = △BNA.
  131. Шаг 128: AB = AB. BM = NA. AM = BN. Да, это равенство верно.
  132. Шаг 129: Из △ABM = △BNA следует: ∠BAM = ∠ABN, ∠ABM = ∠NAB, ∠AMB = ∠BNA.
  133. Шаг 130: Мы ищем ∠ANB.
  134. Шаг 131: ∠AMB = ∠ANB.
  135. Шаг 132: ∠MAN = 105°.
  136. Шаг 133: ∠AMN = 47°.
  137. Шаг 134: ∠ANM = 28°.
  138. Шаг 135: Пусть ∠BAN = x. Тогда ∠BAM = 105° - x.
  139. Шаг 136: Из равенства △ABM = △BNA: ∠ABM = ∠NAB = x.
  140. Шаг 137: ∠BAM = ∠ABN = 105° - x.
  141. Шаг 138: В △ABM: ∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - (105° - x) - x = 180° - 105° + x - x = 75°.
  142. Шаг 139: Значит, ∠ANB = ∠AMB = 75°.
  143. Шаг 140: Проверим углы в △ANB: ∠BAN = x, ∠ANB = 75°.
  144. Шаг 141: ∠ABN = 105° - x.
  145. Шаг 142: Сумма углов в △ANB: x + 75° + (105° - x) = 180°.
  146. Шаг 143: 180° = 180°. Это верно.
  147. Шаг 144: Осталось проверить, соответствует ли это условиям △BMN.
  148. Шаг 145: ∠ABM = x. ∠ABN = 105° - x.
  149. Шаг 146: ∠MBN = ∠ABN - ∠ABM = (105° - x) - x = 105° - 2x.
  150. Шаг 147: ∠AMN = 47°. ∠ANM = 28°.
  151. Шаг 148: ∠BMN = ∠AMB - ∠AMN = 75° - 47° = 28°.
  152. Шаг 149: ∠BNM = ∠ANB - ∠ANM = 75° - 28° = 47°.
  153. Шаг 150: В △BMN: ∠BMN = 28°, ∠BNM = 47°.
  154. Шаг 151: Это означает, что △BMN не равнобедренный, что противоречит условию BM = BN.
  155. Шаг 152: Значит, равенство △ABM = △BNA неверно.
  156. Шаг 153: Опять возвращаемся к △ABM = △ANB по трем сторонам (AB=AB, BM=AN, AM=BN).
  157. Шаг 154: Это равенство было корректно.
  158. Шаг 155: Из него следует: ∠BAM = ∠BAN (AB — биссектриса ∠MAN), ∠ABM = ∠ANB, ∠AMB = ∠ABN.
  159. Шаг 156: ∠MAN = 105°. Значит, ∠BAM = ∠BAN = 52.5°.
  160. Шаг 157: ∠ANB = ∠ABM.
  161. Шаг 158: ∠AMB = ∠ABN.
  162. Шаг 159: В △AMN: ∠MAN = 105°, ∠AMN = 47°, ∠ANM = 28°.
  163. Шаг 160: Пусть ∠ABM = z. Тогда ∠ANB = z.
  164. Шаг 161: ∠ABN = ∠AMB.
  165. Шаг 162: ∠MBN = ∠ABN - ∠ABM = ∠AMB - z.
  166. Шаг 163: В △BMN: ∠BMN = ∠AMB - ∠AMN = ∠AMB - 47°.
  167. Шаг 164: ∠BNM = ∠ANB - ∠ANM = z - 28°.
  168. Шаг 165: В △BMN: BM = BN. Следовательно, ∠BMN = ∠BNM.
  169. Шаг 166: ∠AMB - 47° = z - 28°.
  170. Шаг 167: ∠AMB = z + 19°.
  171. Шаг 168: Так как ∠AMB = ∠ABN, то ∠ABN = z + 19°.
  172. Шаг 169: ∠MBN = ∠ABN - ∠ABM = (z + 19°) - z = 19°.
  173. Шаг 170: В равнобедренном △BMN (BM=BN), ∠MBN = 19°.
  174. Шаг 171: ∠BMN = ∠BNM = (180° - 19°) / 2 = 161° / 2 = 80.5°.
  175. Шаг 172: Теперь проверим, что ∠AMB = z + 19°.
  176. Шаг 173: ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + 80.5° = 127.5°.
  177. Шаг 174: Значит, z + 19° = 127.5°.
  178. Шаг 175: z = 127.5° - 19° = 108.5°.
  179. Шаг 176: Мы ищем ∠ANB, которое равно z.
  180. Шаг 177: ∠ANB = 108.5°.
  181. Шаг 178: Проверим равенство ∠BMN = ∠BNM.
  182. Шаг 179: ∠BMN = 80.5°. ∠BNM = 80.5°. Это верно.
  183. Шаг 180: Проверим другие равенства: ∠AMB = 127.5°. ∠ANB = 108.5°.
  184. Шаг 181: Здесь есть нестыковка. ∠ANB должно быть равно ∠AMB.
  185. Шаг 182: Вернемся к равенству △ABM = △ANB.
  186. Шаг 183: ∠BAM = ∠BAN = 52.5°.
  187. Шаг 184: ∠ABM = ∠ANB.
  188. Шаг 185: ∠AMB = ∠ABN.
  189. Шаг 186: В △AMN: ∠MAN=105°, ∠AMN=47°, ∠ANM=28°.
  190. Шаг 187: В △BMN: BM=BN. Пусть ∠MBN=α. ∠BMN=∠BNM=(180-α)/2.
  191. Шаг 188: ∠AMB = 47° + (180-α)/2.
  192. Шаг 189: ∠ANB = 28° + (180-α)/2.
  193. Шаг 190: По равенству треугольников ∠ABM = ∠ANB.
  194. Шаг 191: ∠AMB = ∠ABN.
  195. Шаг 192: 47° + (180-α)/2 = ∠ABN.
  196. Шаг 193: 28° + (180-α)/2 = ∠ABM.
  197. Шаг 194: ∠ABN - ∠ABM = ∠MBN = α.
  198. Шаг 195: (47° + (180-α)/2) - (28° + (180-α)/2) = α.
  199. Шаг 196: 47° - 28° = α.
  200. Шаг 197: α = 19°.
  201. Шаг 198: Теперь мы знаем ∠MBN = 19°.
  202. Шаг 199: В равнобедренном △BMN: ∠BMN = ∠BNM = (180° - 19°) / 2 = 161° / 2 = 80.5°.
  203. Шаг 200: Теперь можем найти ∠ANB.
  204. Шаг 201: ∠ANB = ∠ANM + ∠BNM = 28° + 80.5° = 108.5°.
  205. Шаг 202: Проверим ∠AMB.
  206. Шаг 203: ∠AMB = ∠AMN + ∠BMN = 47° + 80.5° = 127.5°.
  207. Шаг 204: Проверим равенство ∠ABM = ∠ANB.
  208. Шаг 205: ∠ANB = 108.5°.
  209. Шаг 206: ∠ABN = ∠AMB = 127.5°.
  210. Шаг 207: ∠ABM = ∠ABN - ∠MBN = 127.5° - 19° = 108.5°.
  211. Шаг 208: Итак, ∠ABM = 108.5°, что равно ∠ANB.
  212. Шаг 209: Все условия сходятся.

Ответ: 108.5°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю