№1 В треугольнике АВС ∠A=37°, AB=3,5 см, ∠DCF = 37°. Найдите ВС.

Рассмотрим треугольник ABC.

Угол DCF является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Следовательно, ∠DCF = ∠A + ∠B (по свойству внешнего угла треугольника).

Так как ∠A = 37° и ∠DCF = 37°, то 37° = 37° + ∠B. Отсюда ∠B = 0°, что невозможно в треугольнике. Вероятно, в условии задачи есть опечатка. Предположим, что ∠ACF = 37°. Тогда ∠ACB = 180° - ∠ACF = 180° - 37° = 143°.

В треугольнике ABC: ∠A = 37°, ∠ACB = 143°. Следовательно, ∠B = 180° - (37° + 143°) = 180° - 180° = 0°, что также невозможно.

Предположим, что ∠DCA = 37°. Тогда ∠BCA = 37°. В треугольнике ABC известны ∠A = 37°, ∠BCA = 37°. Найдем ∠B = 180° - (37° + 37°) = 180° - 74° = 106°.

Для решения задачи недостаточно данных. Воспользуемся теоремой синусов.

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$ $$\frac{BC}{\sin 37^{\circ}} = \frac{3.5}{\sin 37^{\circ}}$$ $$BC = \frac{3.5 \cdot \sin 37^{\circ}}{\sin 37^{\circ}} = 3.5 \text{ см}$$

Ответ: 3,5 см.