7) В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Ди Е соответственно, ∠EAD = 5°, ∠ECD = 10°. Найдите / EDC. 8) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Е, а внутри треугольника - точка D. EM ⊥ AC, AM = CM, ∠ B = 45°, ∠CDA = 90°, ∠ DCA = 60°. Докажите, что EM = DC.

Решение 7

• В треугольнике ABC дано ∠C = 90°, ∠B = 40°. Следовательно, ∠A = 180° - 90° - 40° = 50°.
• Также дано ∠EAD = 5° и ∠ECD = 10°.
• В треугольнике AED: ∠AED = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 5° - ∠EDA.
• В треугольнике EDC: ∠EDC = 180° - ∠ECD - ∠CED = 180° - 10° - ∠CED.
• Заметим, что ∠A = ∠EAD + ∠DAC, следовательно, ∠DAC = ∠A - ∠EAD = 50° - 5° = 45°.
• Аналогично, ∠C = ∠ECD + ∠DCB, следовательно, ∠DCB = ∠C - ∠ECD = 90° - 10° = 80°.
• Рассмотрим треугольник ADC: ∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠ACD = 180° - 45° - 10° = 125°.
• Тогда ∠ADE = 180° - ∠ADC = 180° - 125° = 55°.
• В треугольнике ADE: ∠AED = 180° - ∠EAD - ∠ADE = 180° - 5° - 55° = 120°.
• В треугольнике EDC: ∠EDC = 180° - ∠ECD - ∠DEC. Угол ∠DEC = 180° - ∠AED = 180° - 120° = 60°.
• ∠EDC = 180° - ∠ECD - ∠DEC = 180° - 10° - 60° = 35°.

Решение 8

• Дано: AM = CM, ∠B = 45°, ∠CDA = 90°, ∠DCA = 60°.
• Так как AM = CM, то M - середина AC. Так как EM ⊥ AC, то EM является медианой и высотой треугольника AEC. Следовательно, треугольник AEC равнобедренный, и AE = CE.
• Рассмотрим треугольник ADC. ∠DAC = 90° - ∠DCA = 90° - 60° = 30°.
• В треугольнике ABC ∠A = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°.
• Тогда ∠EAC = ∠BAC = 45°.
• В треугольнике CDA: \(\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle CDA)}\), откуда \(DC = AC \cdot \sin(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{2} = \frac{AC}{2}\).
• В треугольнике AEM: \(\frac{EM}{\sin(\angle EAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle AEM)}\).
• Так как ∠EAM = 45° и AM = \(\frac{AC}{2}\), то \(EM = AM \cdot \sin(45^\circ) = \frac{AC}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AC \cdot \sqrt{2}}{4}\).

Из полученных выражений не следует, что EM = DC.