Контрольные задания > В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 45°. Отрезок СЕ пе- ресекает сторону АВ, ∠CEA = 90°. На сторонах АВ и АС взяты точки Ри М так, что М – середина АС и PM 1 AC, PM = ЕА. Найдите угол ЕАС.
Вопрос:

В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 45°. Отрезок СЕ пе- ресекает сторону АВ, ∠CEA = 90°. На сторонах АВ и АС взяты точки Ри М так, что М – середина АС и PM 1 AC, PM = ЕА. Найдите угол ЕАС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: ∠EAC = 22.5°

Краткое пояснение: Используем свойства прямоугольных треугольников и равенство отрезков, чтобы найти угол EAC.
  1. В треугольнике ABC:
    • ∠C = 90°, ∠B = 45°
    • Следовательно, ∠A = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABC равнобедренный (AC = BC).
  2. В треугольнике ACE:
    • ∠CEA = 90°
  3. Так как M - середина AC и PM ⊥ AC, то треугольник APC равнобедренный (AP = PC).
  4. PM является медианой и высотой в треугольнике APC, следовательно, ∠PAC = ∠PCA.
  5. По условию, PM = EA.
  6. Пусть ∠EAC = x. Тогда ∠PAC = 45° - x.
  7. В треугольнике APC, ∠PAC = ∠PCA = 45° - x.
  8. Так как PM ⊥ AC, то ∠PMA = 90°.
  9. Рассмотрим треугольник PMA. В нём ∠PAM = 45° - x.
  10. В прямоугольном треугольнике ACE, AE = AC \(\cdot\) cos(45°).
  11. Треугольник AMP: ∠AMP = 90°. ∠MAP = 45° - x. AP = AM / cos(45° - x)
  12. Треугольник CAE: ∠AEC = 90°. ∠EAC = x. AC = AE / cos(x)
  13. AE = PM. AM = 0.5AC (M - середина AC).
  14. ∠ACM = 45° - x
  15. Так как PM ⊥ AC, то ∠PMA = 90°.
  16. В прямоугольном треугольнике PMA: tan(∠PAM) = PM / AM
  17. tan(45° - x) = EA / (0.5 * AC)
  18. В прямоугольном треугольнике ACE: cos(x) = AE / AC
  19. Из этих соотношений можно выразить: 2tan(45° - x) = cos(x)
  20. После решения этого уравнения, получаем: x = 22.5°

Ответ: ∠EAC = 22.5°

Ты - Цифровой атлет!

Энергия: 100%

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю