В треугольнике АВС ∠C = 90°. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DCLAC. а) Докажите, что прямая АС перпендикулярна к плоскости DCB. 6) Верно ли, что прямая DC перпендикулярна к плоскости ABC?

Решение:

а) Докажем, что прямая АС перпендикулярна к плоскости DCB.

1. Дано: В треугольнике ABC ∠C = 90°, следовательно, AC ⊥ BC.
2. Дано: DC ⊥ AC (по условию).
3. BC и DC пересекаются в точке С и лежат в плоскости (DCB).
4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и DC, лежащим в плоскости (DCB).
5. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости (DCB).

б) Выясним, верно ли, что прямая DC перпендикулярна к плоскости ABC.

1. Дано: DC ⊥ AC (по условию).
2. Так как DC лежит в плоскости (DCB) и АС ⊥ BC, то DC не обязана быть перпендикулярна BC.
3. Следовательно, DC не перпендикулярна плоскости ABC.

Ответ: а) Доказано, что прямая АС перпендикулярна плоскости DCB; б) Неверно, прямая DC не перпендикулярна плоскости ABC.