В треугольнике АВС ∠A = 90°, AB = 5 см, ВС = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой АВ только одну общую точку.

По условию задачи окружность и прямая имеют только одну общую точку. Возможны три ситуации: расстояние от окружности до прямой АВ:

1. меньше радиуса;
2. равно радиусу окружности;
3. больше радиуса окружности.

В случае а) прямая и окружность имеют две общие точки; в случае б) имеют одну общую точку; в случае в) общих точек нет. Ситуации а) и в) противоречат условию задачи.

Следовательно, радиус r окружности равен расстоянию от точки С до прямой АВ, т. е. равен катету АС.

По теореме Пифагора: AC = √(BC^2 - AB^2) = √(13^2 - 5^2) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

Итак, r = 12 см.

Ответ: 12 см.