318. В треугольнике АВС AB = BC, A (5; 9), С (1;-3), модули координат точки в равны. Найдите координаты точки В. 319. Найдите координаты всех точек С оси абсцисс таких, что треуголь- НИК АВС - равнобедренный и А (1; 1), B (2; 3). 320. Найдите координаты всех точек в оси ординат таких, что треуголь- ник АВС — прямоугольный и А (1; 3), C (3; 7). Упражнения для повторения 321. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 9 см, ВС = 3 см. На гипотенузе АВ отметили точку М так, что АМ : MB = 1 : 2. Найдите отрезок СМ. 322. Найдите углы ромба, если угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из одной вершины, равен 28°. 323. Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 24 см, точка Е – сере- дина стороны ВС. Найдите отрезки, на которые прямая АЕ делит диагональ BD. Готовимся к изучению новой темы 324. Точка А (1; −6) - центр окружности, точка В (10; 6) принадлежит этой окружности. Чему равен радиус окружности? 325 От зок CD - 56 диаметр окружности. Найдите координаты центра C (6; -4), D (-2; 10). ется графиком урав-

Решение 318

В треугольнике ABC, где AB = BC, точка A имеет координаты (5; 9), а точка C (1; -3), необходимо найти координаты точки B, зная, что модули координат точки B равны.

Пусть координаты точки B будут (x; y), где |x| = |y|. Поскольку треугольник равнобедренный, расстояние от точки B до A должно быть равно расстоянию от точки B до C: AB = BC

Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Тогда:

AB = \[\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 9)^2}\]

BC = \[\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 3)^2}\]

Приравниваем AB и BC:\[\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 9)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 3)^2}\]

Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:\[(x - 5)^2 + (y - 9)^2 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2\]

Раскрываем скобки:\[x^2 - 10x + 25 + y^2 - 18y + 81 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9\]

Приводим подобные члены:\[-10x - 18y + 106 = -2x + 6y + 10\]

Переносим все в одну сторону:\[8x + 24y = 96\]

Делим на 8:\[x + 3y = 12\]

Теперь учитываем, что |x| = |y|. Это означает, что x = y или x = -y.

Случай 1: x = y

Подставляем x = y в уравнение x + 3y = 12:\[y + 3y = 12\]\[4y = 12\]\[y = 3\]

Значит, x = 3. Тогда точка B (3; 3).

Случай 2: x = -y

Подставляем x = -y в уравнение x + 3y = 12:\[-y + 3y = 12\]\[2y = 12\]\[y = 6\]

Значит, x = -6. Тогда точка B (-6; 6).

Таким образом, у нас есть две возможные точки для B: (3; 3) и (-6; 6).

Ответ: B (3; 3) или B (-6; 6)

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и все получится!

Решение 319

Нужно найти координаты точек C на оси абсцисс, чтобы треугольник ABC был равнобедренным, где A (1; 1) и B (2; 3).

Пусть точка C имеет координаты (x; 0), так как она лежит на оси абсцисс.

Для равнобедренного треугольника ABC возможны три случая:

1. AB = BC
2. AC = BC
3. AB = AC

Вычислим расстояние AB:\[AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

1) AB = BC:\[BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}\]\[\sqrt{5} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}\]\[5 = (x - 2)^2 + 9\]\[(x - 2)^2 = -4\]

Решений нет, так как квадрат не может быть отрицательным.

2) AC = BC:\[AC = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}\]\[BC = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}\]\[(x - 1)^2 + 1 = (x - 2)^2 + 9\]\[x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 9\]\[-2x + 2 = -4x + 13\]\[2x = 11\]\[x = 5.5\]

Точка C (5.5; 0).

3) AB = AC:\[\sqrt{5} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}\]\[5 = (x - 1)^2 + 1\]\[(x - 1)^2 = 4\]\[x - 1 = \pm 2\]\[x = 1 \pm 2\]

x = 3 или x = -1

Точки C (3; 0) и C (-1; 0).

Ответ: C (5.5; 0), C (3; 0), C (-1; 0)

Отличная работа! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

Решение 320

Найдем координаты всех точек B на оси ординат, таких, что треугольник ABC прямоугольный, где A (1; 3), C (3; 7).

Пусть точка B имеет координаты (0; y), так как она лежит на оси ординат.

Для того чтобы треугольник ABC был прямоугольным, один из углов должен быть равен 90 градусам. Рассмотрим все три случая:

1. Угол A равен 90 градусам
2. Угол B равен 90 градусам
3. Угол C равен 90 градусам

Воспользуемся теоремой Пифагора: для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1) Угол A равен 90 градусам: BC² = AB² + AC²

AC² = (3 - 1)² + (7 - 3)² = 4 + 16 = 20

AB² = (0 - 1)² + (y - 3)² = 1 + (y - 3)² = 1 + y² - 6y + 9 = y² - 6y + 10

BC² = (3 - 0)² + (7 - y)² = 9 + (7 - y)² = 9 + 49 - 14y + y² = y² - 14y + 58

y² - 14y + 58 = y² - 6y + 10 + 20

y² - 14y + 58 = y² - 6y + 30

-14y + 6y = 30 - 58

-8y = -28

y = 3.5

Точка B (0; 3.5).

2) Угол B равен 90 градусам: AC² = AB² + BC²

AC² = 20 (как посчитано выше)

AB² = y² - 6y + 10 (как посчитано выше)

BC² = (3 - 0)² + (7 - y)² = y² - 14y + 58 (как посчитано выше)

20 = y² - 6y + 10 + y² - 14y + 58

2y² - 20y + 48 = 0

y² - 10y + 24 = 0

D = (-10)² - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4

y₁ = (10 + √4) / 2 = (10 + 2) / 2 = 6

y₂ = (10 - √4) / 2 = (10 - 2) / 2 = 4

Точки B (0; 6) и B (0; 4).

3) Угол C равен 90 градусам: AB² = AC² + BC²

AB² = y² - 6y + 10 (как посчитано выше)

AC² = 20 (как посчитано выше)

BC² = y² - 14y + 58 (как посчитано выше)

y² - 6y + 10 = 20 + y² - 14y + 58

y² - 6y + 10 = y² - 14y + 78

8y = 68

y = 8.5

Точка B (0; 8.5).

Ответ: B (0; 3.5), B (0; 6), B (0; 4), B (0; 8.5)

Молодец! Ты отлично справился с решением этой задачи! Помни, что важен каждый шаг, и у тебя все получится!

Решение 321

В треугольнике ABC угол C = 90°, AB = 9 см, BC = 3 см. На гипотенузе AB отметили точку M так, что AM : MB = 1 : 2. Найдите отрезок CM.

Сначала найдем AC по теореме Пифагора:\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]\[AC^2 = 9^2 - 3^2\]\[AC^2 = 81 - 9\]\[AC^2 = 72\]\[AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Теперь определим положение точки M на AB. Так как AM : MB = 1 : 2, то AM = (1/3) * AB = (1/3) * 9 = 3 см, MB = (2/3) * AB = (2/3) * 9 = 6 см.

Введем систему координат, где C - начало координат (0; 0), B лежит на оси x (3; 0), а A лежит на оси y (0; 6√2). Тогда координаты точек будут следующими: C(0; 0), B(3; 0), A(0; 6√2).

Найдем координаты точки M, которая делит отрезок AB в отношении 1:2. Координаты точки M можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:\[M(x; y) = (\frac{x_1 + kx_2}{1 + k}; \frac{y_1 + ky_2}{1 + k})\]

В нашем случае A(0; 6√2), B(3; 0), k = 2 (так как AM : MB = 1 : 2):\[M(x; y) = (\frac{0 + 2 \cdot 3}{1 + 2}; \frac{6\sqrt{2} + 2 \cdot 0}{1 + 2})\]\[M(x; y) = (\frac{6}{3}; \frac{6\sqrt{2}}{3})\]\[M(x; y) = (2; 2\sqrt{2})\]

Теперь найдем отрезок CM, используя координаты точек C(0; 0) и M(2; 2√2):\[CM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2}\]\[CM = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2}\]\[CM = \sqrt{4 + 8}\]\[CM = \sqrt{12}\]\[CM = 2\sqrt{3}\]

Ответ: CM = 2√3 см

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе!

Решение 322

Пусть ромб будет ABCD, где угол между высотой, проведенной из вершины B на сторону AD (пусть это будет высота BE), и диагональю BD равен 28°.

Угол EBD = 28°. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому угол ABD равен половине угла ABC. Высота BE перпендикулярна стороне AD, следовательно, угол AEB = 90°.

В прямоугольном треугольнике BDE, угол EBD = 28°, следовательно, угол BDA = 90° - 28° = 62°.

Так как BD - биссектриса угла ADC, то угол ADC = 2 * угол BDA = 2 * 62° = 124°.

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, угол ABC = углу ADC = 124°.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, поэтому угол BAD = углу BCD = 180° - 124° = 56°.

Ответ: Углы ромба: 124°, 56°, 124°, 56°

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом!

Решение 323

Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 24 см, точка E – середина стороны BC. Найдите отрезки, на которые прямая AE делит диагональ BD.

Пусть O — точка пересечения AE и BD.

Так как E — середина BC, то BE = EC. Рассмотрим треугольники BEO и DAO. Угол BEO = углу DAO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE). Угол EBO = углу ADO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Также AD = BC (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, BE = (1/2)AD.

Из подобия треугольников BEO и DAO следует отношение:\[\frac{BO}{DO} = \frac{BE}{AD} = \frac{1}{2}\]

Это означает, что BO составляет 1/3 от BD, а DO составляет 2/3 от BD. Так как BD = 24 см:\[BO = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8 \text{ см}\]\[DO = \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16 \text{ см}\]

Ответ: Прямая AE делит диагональ BD на отрезки BO = 8 см и OD = 16 см.

Очень хорошо! Ты показал отличные навыки в геометрии, продолжай в том же духе!

Решение 324

Дано: Точка A (1; −6) - центр окружности, точка B (10; 6) принадлежит этой окружности. Надо найти радиус окружности.

Радиус окружности - это расстояние между центром окружности и любой точкой на окружности. В данном случае, нам известны координаты центра A (1; -6) и точки B (10; 6), лежащей на окружности. Используем формулу расстояния между двумя точками:

\[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где A (x₁, y₁) = (1; -6), B (x₂, y₂) = (10; 6).

Подставляем значения:\[r = \sqrt{(10 - 1)^2 + (6 - (-6))^2}\]\[r = \sqrt{(9)^2 + (12)^2}\]\[r = \sqrt{81 + 144}\]\[r = \sqrt{225}\]\[r = 15\]

Ответ: Радиус окружности равен 15.

Поздравляю! Ты отлично справился с решением этой задачи! Так держать!

Решение 325

Отрезок CD - диаметр окружности. C (6; -4), D (-2; 10). Найдите координаты центра окружности.

Центр окружности, диаметром которой является отрезок CD, находится в середине этого отрезка. Координаты середины отрезка можно найти как среднее арифметическое координат его концов:

\[x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}\]\[y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

где C (x₁, y₁) = (6; -4), D (x₂, y₂) = (-2; 10).

Подставляем значения:

\[x_0 = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[y_0 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Итак, координаты центра окружности (2; 3).

Ответ: Координаты центра окружности (2; 3).

Прекрасно! Продолжай изучать математику с таким же энтузиазмом, и у тебя все получится!