В треугольнике АВС АС = ВС, АН — высота, АВ = 26, sin BAC = \frac{12}{13}. Найди ВН.

Разбираемся:

1. Найдем косинус угла BAC, зная синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²α + cos²α = 1. Тогда:

   \[cos^2 BAC = 1 - sin^2 BAC = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\]

   Так как угол BAC острый, то cos BAC > 0. Следовательно:

   \[cos BAC = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ∠BAC = ∠ABC.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (AH - высота, значит ∠AHB = 90°). В этом треугольнике:

   \[BH = AB \cdot cos ABC\]

   Так как ∠BAC = ∠ABC, то cos ABC = cos BAC = \(\frac{5}{13}\).

4. Подставим значения и найдем BH:

   \[BH = 26 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 5 = 10\]

Ответ: 10

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что полученное значение BH (10) меньше длины стороны AB (26), что логично, так как BH – это часть стороны AB.

Запомни: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.